Si Ampère doit sa célébrité à l’électrodynamique, ce sont les mathématiques qui l’ont fait vivre. C’est comme mathématicien qu’il est connu de ses contemporains ; c’est comme tel qu’il est reçu à l’Académie des sciences en 1814. Les mathématiques représentent une large part de ses archives personnelles.
Cependant ce n’est pas la partie de ses travaux la plus étudiée ; on s’est davantage intéressé à la physique, la chimie ou l’électrodynamique, où ses contributions furent plus originales. Ampère n’a pas laissé de trace majeure dans l’histoire des mathématiques ; il s’intéresse surtout aux applications des mathématiques à la physique et il y fait preuve d’une grande virtuosité. Mais ses recherches sont restées pour une grande part inachevées ou non publiées.
Dans son enfance, Ampère montre une passion pour le calcul et apprend les mathématiques dans les livres de la bibliothèque paternelle. À l’âge de treize ans, il reçoit une série de leçons sur le calcul différentiel. Trois mois plus tard, il dépose à l’Académie de Lyon un mémoire ‘sur la rectification d’un arc de cercle’, qui fait précisément intervenir le calcul différentiel.
Quand vient pour lui le moment de s’établir, Ampère commence par donner des cours particuliers de mathématiques, à Lyon. À l’École centrale de Bourg (1802-1803) où il enseigne la physique et la chimie, il écrit ses Considérations sur la théorie mathématique du jeu , qui prouvent mathématiquement qu’un joueur aux ressources limitées est sûr de perdre face à un joueur dont la fortune est beaucoup plus grande. Grâce à cet ouvrage, il est nommé professeur de mathématiques au Lycée de Lyon puis, après d’autres travaux, professeur d’analyse à l’École polytechnique, où il eut Cauchy et Liouville comme élèves. Mais, pour lui, les mathématiques ont alors perdu leur charme : ‘Je n’aime plus du tout les mathématiques’ écrit-il en 1805, tandis qu’il commence sa vie de mathématicien parisien !
Dans les autres disciplines scientifiques, Ampère multiplie les échanges de vues avec les savants contemporains ; en mathématiques, il semble travailler plutôt seul. Ses recherches les plus importantes dans le domaine portent sur l’intégration de certaines équations aux dérivés partielles, qui ont reçu le nom d’équations Monge-Ampère. Mais il s’est aussi intéressé à des questions de géométrie, à la théorie des courbes et à des questions liées à la mécanique comme le principe des vitesses virtuelles, les axes de rotation des corps ou le calcul des variations. Toutes ces questions ont laissé leur trace dans les archives…
Les leçons de l’abbé Daburon
Dans son autobiographie Ampère raconte que, lisant les articles de mathématiques de l’Encyclopédie, il ne comprenait pas ce que signifiait la lettre d dans les expressions telles que dx ou dy qui désignent des infiniment petits dans le calcul différentiel. L’enseignement de cette partie des mathématiques n’était alors donné que dans quelques écoles militaires.
À la demande de son père, l’abbé Daburon (1758-1838), professeur au collège de Lyon, lui donne une vingtaine de leçons sur le calcul différentiel et intégral. Ces leçons, avec exercices et problèmes, remplissent un cahier de 48 pages d’une autre main que celle d’Ampère.
La solution de la quadrature du cercle ?
Le 8 juillet 1788, le secrétaire de l’Académie de Lyon note l’envoi par ‘M. Ampère fils, âgé de 13 ans’ d’un mémoire dans lequel ‘il prétend avoir résolu le fameux problème de la quadrature du cercle’. Ce problème, célèbre depuis l’Antiquité, consiste à trouver géométriquement (sans calcul) le carré ayant la même surface qu’un cercle donné. Il était considéré depuis longtemps comme insoluble par les mathématiciens.
Dans les archives de l’Académie de Lyon, on a seulement retrouvé une page, authentifiée par sa date, mais qui concerne un autre problème : la rectification d’un arc de cercle. Il s’agit cette fois de déterminer géométriquement la longueur d’un arc de cercle quelconque.
Dans ce mémoire, Ampère donne un procédé pour obtenir, mais seulement de manière approchée, la longueur d’un arc de cercle. Il a bien assimilé le calcul différentiel. [lire le texte de ce document]
Un brouillon de ce mémoire est conservé aux archives de l’Académie des sciences ; il ne fait pas allusion au problème de la quadrature du cercle. Cette page montre cependant l’audace du débutant qui s’attaque à un problème non résolu par les meilleurs mathématiciens de son temps.
La théorie du jeu
Durant son séjour à Bourg-en-Bresse, Ampère rédige laborieusement ses Considérations sur la théorie mathématique du jeu montrant que :
« … lorsqu’il s’agit d’un nombre indéfini de parties, la possibilité de tenir le jeu plus longtemps, donne au plus riche des deux [joueurs] un avantage d’autant plus grand qu’il y a plus de différence entre leurs fortunes » ; « Cet avantage deviendrait infini, si l’une des fortunes pouvait l’être, le joueur le moins riche serait alors sûr de se ruiner, et c’est pour cela que c’est courir à une ruine certaine, que de jouer contre tous ceux qui se rencontrent dans la société : on doit en effet, dans la théorie, les considérer comme un seul adversaire dont la fortune serait infinie. »
Début janvier 1803, son mémoire est envoyé à l’Institut et examiné par Lacroix et Laplace (L1803-01-19-a). Laplace y ayant relevé une erreur de calcul, Ampère fait reprendre en hâte l’ouvrage par l’imprimeur, son beau-frère. Cette erreur est cependant de peu de conséquence pour le jeune mathématicien qui entend dire que « l’avis unanime des membres de la Section de mathématiques [de l’Institut] est que cet ouvrage ne pouvait venir que d’une tête forte. » (L1803-03-16-a).
Sept ans plus tôt (en 1795), Ampère avait déjà cherché la solution de ce problème du jeu où s’affrontent deux joueurs de fortunes inégales, sans y parvenir. Les pages suivantes, provenant d’un manuscrit intitulé « Sur les probabilités, fait à Poleymieux », sont la trace de ces premières recherches sur les probabilités.
